기하학과 대수학의 역사

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이번 글에선 수학의 개요나 역사에 대해 알려드려 보도록 하겠습니다.
이번에는 순수수학 중에 있는 기하학에 대해 알려 드리겠습니다.
먼저 기하학은 점, 직선, 곡선, 부피 등 공간의 성질을 연구하는 수학 분야입니다.
수학의 한 분야이자 자유 7과에 속하는 학문입니다. 기하학은 언제 시작되었는지 정확히 알 수 없습니다. 또 기하학은 많은 문명에서 측량이나 건축에 이용하면서 발전되었기 때문에 어디서 먼저 발생하였는지를 이야기하는 것도 무의미하지만 메소포타미아와 중국 등에서도 피타고라스 정리는 널리 알려있던 사실입니다. 정다각형의 작도와 같은 문제도 이미 연구되고 있었습니다. 고대 이집트에서는 나일강의 정기적으로 범람하자 토지의 경계가 사라지는 일이 자주 발생하여 강물이 빠질 때마다 사람들은 토지의 넓이를 새로 측정했는데 이 과정에서 기하학 지식이 생겼습니다. 역사학자 헤로도토스는 ‘만약 어떤 사람이 소유한 토지 일부가 강물에 휩쓸려가면 국왕은 그곳에 사람을 보내 조사를 시행한다는 그리고 측량을 거쳐 유실된 면적을 정확히 계산해 낸다는 나는 이집트인들이 이런 과정을 통해 기하학을 이해하게 되었고 후대에 이를 그리스에서 전해 주었다고 생각한다’라고 기록했다고 합니다. 기하학의 개념은 피타고라스 등의 고대 그리스 수학자들의 연역적인 증명을 통해서 기하학을 탐구하면서 출발하였다 기원전 300년대의 그리스 수학자 유클리드는 그의 저작 ’ 원론’에서 점선 면과 같은 몇몇 용어들과 공리들의 당시 알려져 있던 대부분의 정리를 연역으로 증명하였고 이를 종합하였다고 합니다. 이 기하학은 흔히 ’ 유클리드 기하학’이라고 부른다고 합니다. 또 다른 거로는 순수수학 중 대수학에 대해 말해보도록 하겠습니다. 초 중등교육 수준의 대수학이란 수학 문제를 간단하게 만드는 기술들입니다. 그러니까 미지수에 변수를 ‘대입’하는 기술, 그리고 이를 '계산'하는 기술 방정식을 푸는 기술입니다. 현대 수학에서의 대수학은 대수적 구조, 집합과 그 위에 정의된 연산에 대한 규칙을 연구하는 학문이라고 말할 수 있습니다. 임의의 집합에 연산을 정의하면 그것들을 묶어서 대수적 구조라고 부른다고 합니다. 또 현대대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라 봐도 무방합니다. 대수학의 역사 수는 연산하는 것 자체는 인류가 발생할 적부터 있었지만, 학문으로 발전한 대수학의 시작은 아부 압둘라 무하미드 이븐 무사 알콰리즈미(페르시아의 최초수학책을 만든 페르시아 수학자)로 거슬러 올라갑니다. 9세기 초 페르시아의 수도 바그다드에서 활동한 학자였던 알콰리즈미는 복원과 상쇄의 책을 집필하면서 조각난 부분들의 재결합을 의미하는 단어를 통해서 방정식의 개념과 해법을 최초로 소개했습니다. 이 때문에 알콰리즈미는 대수학의 아버지라고 불린다고 합니다. 알콰리즈미를 라틴어식으로 읽은 알고리스무스에서 알고리즘이 파생되어 나왔습니다. 이다음에 쓴 그의 책은 인도의 숫자를 아라비아에 전파해서 아라비아 숫자라는 명칭을 만들어낸 책입니다. 알콰리즈미 이후에 인도와 중국 등지에서 음수의 개념이 전해졌고, 이후 지롤라모 카르다노(수학자로 널리 알려졌지만 본업은 의사입니다.)와 그의 제자 로도비코 페라리에 의해서 음의 근 개념과 3차와 4차 방정식이 추가되는 등 방정식의 계산 법에 관한 연구가 이루어졌다고 한다는 이와 당시까지만 하더라도 대수학은 크게 ’ 계산 방법‘ 또 ’ 다항방정식을 푸는 방법‘ 이 두 가지가 큰 축을 이루고 있었다. 일종의 ’ 테크닉‘, ’ 기술‘에 가까운 영역이었다고 합니다. 그러나 이후 비에트에의 해서 변수의 개념이 도입되게 되고 이는 큰 전환점이 되어서 대수학 이전까지의 산수방법에 불과했던 학문에서 연산의 성질을 연역적이고 엄밀한 논리를 이용하여 탐구하는 학문으로 진화하게 되었습니다. 오늘날 수학과 생들이 배우는 대학교 전공수학에서 이러한 분야를 공부하는 대수학 과목을 '현대'대수학이라고 일컫는 이유가 여기에 있다. 또한 변수가 도입됨에 따라 '계산기술, 과 함께 역사적으로 대수학에서  항상 주제 중 하나였던 '방정식의 해결법'에 대한 탐구도 이전과는 달리 엄밀하고 더 깊은 수준으로 이루어져 있기 시작했다. 이렇게 다항방정식에 탐구에 대한 탐구가 가속을 받으며 19세기 닐스 헨리크 아벨이 5차 이상의 다항방정식의 일반해 공식은 찾을 수 없다는 것을 증명하게 된다 이 업적은 대 수학에서의 추가적인 전환점이 되어 대수학에서 방정식에 대한 탐구 방향이 갈루아(고작 20세의 나이에 사망했으나 수학사의 한 획을 그은 천재 수학자) 등에 의해 방정식의 숨은 원리를 찾는 방향으로 진행되도록 만들어냈다. 이러한 역사적 과정을 거쳐 현대의 대수학은 일반적으로 대수적 구조를 연구하는 학문분야로 정의되고 있다. 대수적 구조란 집합에 그것들을 변화시키는 함수들(연산자)이 주어진 것이다. 이렇게 오늘은 대수학과 기하학의 역사에 대해 알아보았는데요 저도 몰랐던 사실을 이 글을 쓰면서 많이 알게 되었습니다. 이 글을 본 여러분들도 저의 글을 읽고 유익한 상식을 알아가셨으면 좋겠네요~!